Slovenský matematik v Rakúsku: Vzťah medzi študentmi a profesormi je na západe bližší (Rozhovor)
Matúš Benko vyštudoval matematiku na Univerzite Komenského v Bratislave. Po skončení vysokej školy sa v roku 2013 dostal na doktorandské štúdium na Univerzitu Johannesa Keplera v rakúskom Linzi, kde začal svoju vedeckú kariéru.
Po štyroch rokoch pôsobenia na Viedenskej univerzite sa v novembri tohto roku vrátil do Linzu, kde pracuje ako výskumný pracovník (PostDoc) na inštitúte RICAM v rámci Rakúskej akadémie vied. V roku 2019 dostal svoj prvý grant na vlastný vedecký projekt a v súčasnosti sa uchádza o ďalší. Prečo sa rozhodol pre matematiku a čomu sa venuje vo svojom výskume, detailne opísal v rozhovore pre Epoch Times Slovensko.
Prečo ste sa rozhodli pre tento typ štúdia? Čo vám na matematike učarovalo?
V skutočnosti to bola jednoduchosť matematiky, ktorá ma najviac priťahovala, aj keď to môže znieť trochu paradoxne. Jej jednoduchosť spočíva v tom, že v matematike sú veci veľmi jasné. Hoci je matematika komplikovaná oblasť, a ak ju chápeme ako istý druh jazyka, tak je to veľmi komplikovaný jazyk. Avšak je jasný a veci tam platia dosť absolútne.
Spomínam si, že jeden profesor z Matfyzu (Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK) nám povedal, že matematika sa zaoberá abstraktnými myšlienkovými konštrukciami, nie skutočnými objektmi. Hoci som to v podstate vedel aj predtým, keď som ho počul vysloviť tie slová, akosi mi to lepšie docvaklo. Objekty, ktoré sa v matematike vyskytujú a študujú, prísne vzaté nie sú skutočné. Tam neexistuje nič ako lopta, ceruzka, atď.
Matematika má presnosť ako žiadna iná disciplína, ale veci, o ktorých rozpráva, sú vymyslené, sú to abstraktné konštrukcie. Tým pádom jej jazyk môže byť veľmi presný, nie sú tam primiešané žiadne emócie, žiadna nejasnosť a to je asi to, čo ma na matematike najviac lákalo. Ten príjemný pocit, keď človek robí matematiku, vychádzal z toho.
Na jednej strane je to ťažké, lebo aby sa človek vôbec pohol v matematike, musí spraviť veci veľmi presne. Nedá sa spraviť vec trochu nepresne, lebo to potom nebude dávať vôbec zmysel. Na druhej strane poskytuje pre človeka istý pocit bezpečia. Keď som o tom neskôr uvažoval z tohto hľadiska, uvedomil som si, že ma matematika priťahovala aj preto, lebo ma v určitom zmysle chránila pred nejakým mojím strachom.
V súčasnosti sa zaužíval pojem „safe space“. Pre mňa bola matematika od začiatku takým úkrytom, kde napríklad nie sú žiadne ťažkosti spojené s medziľudskými vzťahmi.
Ako ste sa dostali do Rakúska?
Bolo to zaujímavé. V Bratislave počas štúdia som sa venoval trochu iným témam ako optimalizácii, ktorej sa venujem teraz. Niektoré princípy optimalizácie sú časťou aj základnej matematickej analýzy, ktorú som študoval, takže základným princípom som samozrejme rozumel, ale špecifickejšie predmety týkajúce sa optimalizácie som už nemal a venoval som sa trochu iným témam.
Keď som skončil magisterské štúdium, zvažovali sme v tom čase s mojou snúbenicou, že by sme išli skúsiť doktorandské štúdium do Spojených štátov. Lenže to by sme museli začať vybavovať veci už v septembri rok predtým a my sme sa neskoro spamätali, takže nám to ušlo a nevedeli sme, čo máme robiť. Moju snúbenicu, v súčasnosti už manželku, zobrali na doktorandské štúdium do Bratislavy, aj keď im otvorene povedala, že možno po roku odíde do USA. Mne povedali, že by ma vzali, ale keď po roku odídem, budú to pre nich vyhodené peniaze, takže sme sa dohodli, že sa na doktorandské štúdium na Slovensku neprihlásim.
Bolo leto a povedal som si, že si posledné leto oddýchnem a potom si začnem hľadať na rok normálnu prácu a neskôr skúsime to USA. Vtedy mi z ničoho nič prišiel email od jedného známeho presne s tou možnosťou doktorandského štúdia v Linzi. Hoci nešlo o oblasť, ktorou som sa zaoberal na škole, skúsil som im napísať a to aj preto, že v Rakúsku sa doktorandské kontrakty často podpisujú najprv na rok a potom sa predĺžia o ďalšie 2 roky. Čiže v tom ozname bola veta, že podpíšeme zmluvu najprv na rok, ktorá mi presne vyhovovala a zrejme kvôli tejto vete som to vôbec skúsil.
Išiel som teda do Linzu, mali sme pohovor a profesor mi hneď povedal, že by ma zobral. Takže takýmto zdanlivo náhodným spôsobom som sa sem dostal a som veľmi rád. Bolo to v roku 2013. Mal som veľké šťastie – aj na svojho školiteľa, aj na všetko ostatné v Linzi. Manželka prišla po roku za mnou a všetko išlo veľmi dobre. Linz sme si veľmi obľúbili a nakoniec sme od Ameriky úplne upustili.
Žijete dlhodobo v Rakúsku. Hovoríte po nemecky?
Je to trochu hanba, ale viem iba trošku. Môj 8-ročný syn hovorí o dosť lepšie ako ja a moja 4-ročná dcéra už vie aspoň tak ako ja. Rozumiem určite lepšie ako hovorím, ale nedá sa povedať, že by som rozumel dobre.
Keď sa medzi sebou rozprávajú kolegovia, rozumiete im?
Keby som poznal tému a veľmi by som sa snažil, tak by som im možno ako tak porozumel. Rakúsko je známe tým, že sú tu rôzne nárečia a aj Nemci im majú problém rozumieť. Po svadbe sme s manželkou išli do hôr do východného Tirolska a môj kolega, rodený Rakúšan z Linzu, zavolal jednej staršej pani, aby nám zarezervoval ubytovanie. Potom, čo s ňou dohovoril, zložil a povedal, že dúfa, že nám to ubytovanie objednal, lebo jej absolútne nič nerozumel. Čiže aj samotní Rakúšania majú občas problém porozumieť si medzi sebou. Keď som navštívil Nemecko, bolo pre mňa o dosť jednoduchšie rozumieť.
Môžete porovnať prostredie vysokej školy v Bratislave a v Linzi?
V oboch prípadoch som mal veľmi dobrú skúsenosť. Samozrejme, sú tam isté rozdiely, ale učí sa celkom podobným spôsobom. Vzdelanie, ktoré som získal v Bratislave, bolo veľmi vhodné. Necítil som, že by mi niečo chýbalo, ani som necítil, že by som toho vedel oveľa viac. Úroveň bola porovnateľná.
Jeden rozdiel, ktorý mi napadá, je, že vzťah medzi učiteľmi a študentmi je trochu bližší tu v Linzi ako v Bratislave a možno to platí aj všeobecne pre západnú Európu. Zdá sa mi, že na Slovensku sa drží trochu väčší odstup. Nehovorím, že u nás to je nejaké zlé, ale vo vzájomnej komunikácii sú si študenti a profesori podľa mňa v Linzi bližší.
Napríklad, že študenti sa opýtajú jednoduchú otázku a nestretnú sa so zlou odozvou u profesora?
Napríklad aj to. Ale s tým som sa nestretol ani u nás. Aj v Bratislave bola celkovo atmosféra veľmi dobrá. Ale skrátka my sme profesorov vnímali, že toto sú už tí veľkí profesori a my sme ešte len malí žiaci a bol tam pocit určitého oddelenia. V Rakúsku je to miernejšie. Z profesorov je akoby viac cítiť, že pred 20 rokmi boli tiež v našej pozícii a teraz sú profesori. Vzťah je menej formálny.
Napadol mi ešte jeden zaujímavý rozdiel: každý študent, je úplne jedno aký odbor študuje a aký stupeň štúdia (bakalarský, magisterský aj doktorandský), musí absolvovať povinný predmet gender studies (rodové štúdiá). Každý človek, ktorý vyštuduje v Linzi, musí absolvovať tento predmet. Aj u nás sme kedysi mali takýto povinný predmet v podobe marxizmu-leninizmu, v Rakúsku dnes máme rodové štúdiá.
Odporúčate mladým ľuďom študovať matematiku?
Matematika je špecifická tým, že v istom zmysle je to najabstraktnejšia oblasť a používa sa v mnohých odvetviach – vo fyzike, ekonómii, atď. Ak má človek vzťah k matematike, je celkom dobré, aby ju študoval, lebo v konečnom dôsledku mu to umožní pochopiť mnohé iné oblasti na hlbšej úrovni. Ja konkrétne nerozumiem dobre ani fyzike, ani informatike, ale z istého hľadiska, ak by som sa niečo z toho snažil pochopiť, mal by som k tomu veľmi dobrý základ.
Vždy je možné špecializovať sa neskôr. Keď sa niekto rozhodne študovať matematiku a neskončí ako matematik, tak má vždy dosť veľa možností, ako sa dostať do aplikovanej sféry. Mám viacerých bývalých spolužiakov, ktorí robia všetko možné, napr. v bankovníctve, atď. Samozrejme, ten prechod nie je úplne ľahký a človek sa musí naučiť veľa vecí, ale vždy tam tá možnosť je. Keď človek ide z hlbšej fundamentálnejšej sféry do niečoho aplikovanejšieho, tak je to vždy ľahšie ako ísť naopak.
Ak sa niekto chce neskôr dostať k matematike, je to dosť ťažké. Keď sme boli ešte na vysokej škole, prišlo za nami jedno dievča študujúce na ekonomickej univerzite a chcelo ísť na magisterské štúdium ku nám na Matfyz. Fungovalo to tak, že prijímačky na magisterské štúdium pozostávali zo štátnic pre bakalárske štúdium. Čiže ona musela spraviť bakalárske štátnice z matematiky. To dievča bolo veľmi šikovné a fakt dobre rozumela veciam v rámci toho, čo sa učí na ekonomickej univerzite, vedela aj oveľa viac, ale po nejakých 2-3 stretnutiach sme zistili, že sa to bohužiaľ proste nedá spraviť. Za tie 3 roky bakalárskeho štúdia matematiky sme sa toho naučili strašne veľa. Keď chcela prejsť z niečoho aplikovanejšieho ku nám, bolo to veľmi ťažké. Možno keby mala pol roka čistého času, dokázala by to zvládnuť, ale mala iba pár mesiacov a ešte popri tom prácu, takže to jednoducho nebolo možné.
Je to tak, že do prvého ročníka na Matfyz vezmú všetkých, ale potom ich čakajú ťažké skúšky, ktorými prejdú iba niektorí?
Zaujímavé je, že konkurencia nie je vôbec nejaká veľká. Pochopiteľne, matematika sama o sebe nie je až taká praktická a je dosť náročná. Človek, aj keď má vzťah k matematike, si väčšinou vyberie niečo trochu aplikovanejšie. Aj vďaka tomu berú študentov na matematiku bez prijímačok, myslím, že stále tomu tak je. Dostane sa tam teda každý.
Skúšky sú ťažké, ale nie je to tak, že učitelia by boli obzvlášť prísni. Väčšinou to človek vzdá sám, ak mu to nejde. Proste vidí, že sa iba príliš trápi. Najmä v prvom ročníku, kde sa učia tie základy, je toho fakt veľa. Ak to niekto nezvláda, má problém prejsť prvým ročníkom a potom aj tými ďalšími. Ale nie sú tam nejaké silné čistky. Študentov je fakt málo. Ak študent dokáže splniť základné predpoklady, učitelia určite nemajú v záujme nikoho vyhadzovať.
Nás v ročníku začalo okolo 60, bakalárske štúdium z nás dokončilo okolo 30 ľudí a magisterské okolo 15. Avšak niektorí po bakalárskom štúdiu išli študovať počítačovú grafiku. To je taká zvláštnosť, že v Bratislave na Matfyze bola po bakalárskom štúdiu možnosť ísť študovať počítačovú grafiku – neviem, ako je to dnes. Tí ľudia cítili, že už by chceli robiť niečo aplikovanejšie. Bola to asi polovica z bakalárov. Druhá polovica ostala študovať matematiku a rozdelili sa na štúdium algebry, numerickej matematiky a matematickej analýzy; prípadne ešte pravdepodobnosť a štatistiku, ako napríklad moja manželka. Ja som študoval matematickú analýzu.
Čo je náplňou vašej terajšej práce v Linzi a v akom produkte alebo výstupe sa nakoniec prejaví?
Pracujem v dosť teoretickej oblasti, takže moja práca sa priamo neprejaví takmer nikde. To, čo mám vyprodukovať, sú, striktne povedané, matematické články. Keď na niečo prídem a niečo sa mi podarí dokázať, napíšem matematický článok a snažím sa ho publikovať. Prísne vzaté, to je to jediné, čo odo mňa môže niekto očakávať. Otázka je, či tie veci, o ktorých rozmýšľam, alebo sa na ne snažím prísť, majú nejaké praktické využitie aj mimo matematiky. Priznám sa, že veľmi nedbám o to, aké konkrétne využitie to môže mať. Stačí mi vedieť, že tie otázky sú pre matematiku relevantné, ale o konkrétnejšie aplikácie sa veľmi nezaujímam.
Zaoberám sa optimalizáciou, ktorá je jedným z hlavných matematických nástrojov, ktoré sa využívajú napríklad pri „machine learning” („strojové učenie”). Optimalizácia má mnohoraké využitie, ale ja nejdem tak ďaleko, aby som skúmal, kde presne sa to dá použiť. Zaoberám sa matematickými problémami, ktoré sú úplne abstraktné a snažím sa na niečo prísť.
Optimalizácia je vo všeobecnosti niečo, s čím sa stretáva každý človek. Každý robí rozhodnutia, ako niečo spraviť čo najlepšie. Zoširoka povedané, optimalizácia sa zaoberá tým, ako vybrať alebo nájsť to, čo je v určitom zmysle najlepšie. To je základná myšlienka. Napríklad, ako niečo spraviť čo najrýchlejšie, alebo ako niečo spraviť čo najlacnejšie, resp. ako čo najviac na niečom zarobiť. V matematike je to presne špecifikované pomocou matematických objektov.
Viete o niekom, kto použil konkrétne váš matematický model?
My nemáme nejaký vlastný model, skôr sa zaoberáme istými otázkami týkajúcimi sa už existujúcich modelov. Iní ľudia teda môžu použiť moje výsledky týkajúce sa nejakého modelu. Sú viaceré články a autori, ktorí urobili nejaké veci, pričom sa odkazovali na moju prácu.
V akom časopise publikujete vaše vedecké články?
V rôznych. V tých základných, ktoré sa venujú optimalizácii.
Máte špecializované časopisy iba na tému optimalizácie?
Áno, a tých je viacero. Je to taká široká téma, že ich je fakt dosť veľa. Každý sa venuje optimalizácii trochu z iného hľadiska. Je zopár najprestížnejších, niektoré sú viac teoretické, niektoré viac praktické, venujú sa problematike z rôznych uhlov.
Aby bol váš článok publikovaný vo vedeckom časopise, musíte za to zaplatiť?
Nie, článok len musím podať a dvaja-traja recenzenti to musia posúdiť. Pokiaľ sa im to pozdáva, článok vyjde.
Tí recenzenti sa s vami poznajú?
Optimalizácia je veľmi široká téma a ja by som nebol schopný posúdiť články z nejakej inej oblasti optimalizácie. Nevedel by som presne povedať, čo je tam dôležité. Viem posúdiť iba tú oblasť, ktorej sa venujem a v tejto komunite nás nie je až tak veľa, čiže väčšinou sa poznáme. Aj ja sám som opravoval mnohokrát články ľuďom, ktorých poznám. Je však dobré udržiavať si istý odstup. Nebolo by dobré, keby som s tým človekom, ktorému opravujem článok, tiež pracoval na niečom podobnom.
Samozrejme, ten proces je anonymný, takže autor nevie, kto posudzuje jeho článok, ale recenzenti často poznajú autora.
Čím viac sú vaše práce vo vedeckých časopisoch citované, tým je vaša prestíž väčšia?
Áno, je to jeden z faktorov, na ktorý sa pozerá – koľko článkov človek napísal, v akých dobrých časopisoch, koľko majú citácií, atď. Keby som sa uchádzal o nejakú pozíciu, napr. profesorskú, publikačná činnosť je jedno z najdôležitejších kritérií. Určite sa to zohľadňuje, aj keď sa človek uchádza o nový grant. Keby niekto, kto nenapísal žiaden článok, napísal žiadosť o grant, v ktorej by tvrdil, že rozrieši nejaké ťažké úlohy, tak zrejme by ho rovno zamietli, lebo je málo pravdepodobné, že by dokázal spraviť niečo zmysluplné.
Tí, čo posudzujú grant, sa orientujú v tej danej problematike?
Mali by sa orientovať dosť dobre, aby mohli posúdiť detaily. V prvom kole sa zrejme vyhodnotia nejaké základné kritériá. Niečo čo sa dá ľahko posúdiť – napríklad či človek má už nejaké publikácie v danej oblasti. Pokiaľ to spĺňa základné kritéria, postúpia to odborníkom v druhom kole, ktorí návrh do detailu posúdia.
Ak sa niekomu podarí dostať grant, tiež sa to považuje za istý druh úspechu. V roku 2019 sa mi podarilo dostať grant od Rakúskeho vedeckého fondu (FWF), z čoho som bol milo prekvapený, pretože je tam silná konkurencia. Prevažná väčšina zo všetkých žiadostí je veľmi kvalitná a asi len 30 % dostane grant, takže človek potrebuje aj trochu šťastia.
Ako sa váš projekt konkrétne volá a o čo v ňom ide?
Volá sa Stability and optimality in optimization a ide v ňom o základné teoretické otázky. Čo sa týka stability, ide o to, že keď mám nejaký optimalizačný problém a mám aj riešenie problému, skúmam, čo sa stane, keď sa trošku zmenia okolnosti. To znamená, že mám nejakú funkciu a našiel som jej minimum, ale čo ak sa tá funkcia trochu zmení? Trošku sa napríklad zakýve alebo inak pohne… Čo sa stane s riešením? Snažím sa odpovedať na otázky takéhoto typu. Ak sa trošku zmenia okolnosti, ako veľmi sa zmení riešenie?
Tieto veci majú dosť veľkú dôležitosť, keď príde na to, ako optimalizačné problémy riešiť numericky pomocou počítačov. Väčšinou sa na to navrhujú rôzne algoritmy. Aby tie algoritmy dobre fungovali, tak je dobré, ak je tam takýto druh stability. Pod stabilitou myslím, že ak sa trošku nejaké veci pozmenia, tak to zodpovedajúce riešenie sa tiež pozmení iba trošku, nie príliš drasticky.
Druhá časť sa týka optimality, čo je ešte základnejšia otázka, keďže ide o to, čo je vlastne riešením optimalizačného problému. Pri niektorých úlohách je to jasné, ale sú aj niektoré špeciálne problémy, kde nie je úplne jasné, ako definovať riešenie – presnejšie povedané ako definovať takzvané nutné podmienky optimality, ktoré sú základom pre algoritmické riešenia toho problému.
Keď chcem nejaký problém vyriešiť, musím si matematicky definovať, čo vlastne hľadám a potom sa to pokúsim nájsť algoritmicky. Pri niektorých náročných typoch problémov nie je jasné, čo vlastne treba hľadať.
Do akej miery je táto práca kreatívna, resp. zviazaná s už zaužívanými matematickými pravidlami?
Veľa vecí je už jasne daných. Keď na niečo človek príde, tak z toho vznikne článok. V článku väčšinou človek ide naozaj na 80-90 % po už vychodených cestičkách. Musí tam napísať základné definície, atď. Veľká časť práce je mechanická, kde netreba žiadnu kreativitu. Ale v samotnom procese uvažovania na kreativitu priestor je. Väčšinou hľadáme inšpiráciu v iných prácach a snažíme sa prísť na niečo nové, napríklad rozpoznať nové vzťahy a súvislosti, alebo ako nejaké myšlienky a postupy zovšeobecniť. Takže na začiatku je kreatívny proces a potom je veľa obyčajnej rutinnej práce. Nie je to iba tak, že človek na niečo príde, niekomu to povie a môže ísť vymýšľať novú vec. Musí prejsť celým procesom písania článku, kde si všetko musí dôkladne premyslieť a dať to poriadne dokopy.
Môže sa stať, že vy dlhodobo pracujete na nejakom modeli, ktorý sa nakoniec ukáže, že je v realite nefunkčný?
Zoberme si ako príklad takzvané nelineárne programovanie, čo je základný model, ktorým sa ľudia zaoberajú minimálne od polovice 20. storočia. Ten model je natoľko všeobecný, že ťažko nastane taká situácia, aby bol úplne nefunkčný. Môže sa stať, že niekto si myslí, že sa bude dať použiť v nejakej konkrétnej situácii ale ukáže sa, že tam sa to nedá dobre použiť.
Alebo sa môže stať, že moje výsledky týkajúce sa napríklad spomínanej stability riešení sa ukážu byť nepoužiteľné. Inak, je zaujímavé, že ani pokiaľ ide o tak štandardný model ako nelineárne programovanie, otázkam stability stále nerozumieme úplne dobre.
Čiže vy pracujete na určitom type matematického modelu, ktorý by mal riešiť určitý problém…
Máme model, ktorý sa dá použiť na mnohé konkrétne situácie a ja môžem skúmať rôzne vlastnosti toho modelu alebo navrhnúť algoritmus, ako ho možno riešiť.
Na základe čoho vám napadne ten algoritmus? Je to váš osobný nápad alebo to vychádza z už predom daných pravidiel?
Je veľmi veľa algoritmov, ktoré už existujú. Mnohé z nich majú svoje korene stovky rokov dozadu. Tie nápady už existujú. Väčšinou sa teda ľudia zaoberajú rôznymi obmenami niekoľkých základných myšlienok. Napríklad, máme istý typ problému a na to existuje zodpovedajúci algoritmus. Ale my zistíme, že chceme podobným spôsobom algoritmicky riešiť aj problém, ktorý je trochu ťažší. Keby sme použili algoritmus, ktorý už poznáme, tak to proste dobre nefunguje. Snažíme sa potom prísť na to, ako ten algoritmus pozmeniť, možno zovšeobecniť, aby zodpovedal novej situácii. Vtedy treba dobre pochopiť podstatu toho, na akom princípe ten algoritmus funguje, prečo ten algoritmus dokáže nájsť riešenie určitého problému, správne pochopiť štruktúru a dodatočnú komplikovanosť nového problému a potom človek môže prísť na to, ako algoritmus pozmeniť, aby dokázal riešiť aj nový problém.
Napríklad, jedným z najzákladnejších algoritmov používaných v optimalizácii a pri riešení rovníc je Newtonova metóda, ktorá síce nepochádza priamo od Newtona, ale dá sa povedať, že je zdokonalením jeho nápadu. A rôzne variácie a zovšeobecnenia Newtonovej metódy sú dodnes veľkou témou. V roku 2019 môj bývalý školiteľ z Linzu spolu s kolegom z Prahy spravili v tejto oblasti veľký krok, keď prišli s novým typom zovšeobecnenej Newtonovej metódy, ktorá sa principiálne líši od ostatných podobných pokusov a ja teraz tiež pracujem s ich metódou.
Čiže takmer vždy je tam už nejaká štruktúra, na ktorej človek stavia a rôznymi obmenami – zjednodušeniami, zrýchleniami – sa snažíme prichádzať s novými algoritmami. Málokedy sa stáva, že by niekto priniesol úplne nové revolučné myšlienky, ktoré nemajú s ničím nič spoločné. Do veľkej miery staviame na tom, čo už je vynájdené.
To, čo už je vynájdené, je základná matematika ešte z Grécka alebo čo to je?
Náš hlavný nástroj sú derivácie, diferenciálny počet. Takže Newton a Leibnitz – 17.-18. storočie. Tam moderný diferenciálny počet začal a pre optimalizáciu je to základný nástroj. Diferenciálny počet je vlastne základom celej matematickej analýzy a zrejme jedným z najväčších objavov v matematike vôbec.
Je však zaujímavé, že optimalizácia ide nad rámec klasického diferenciálneho počtu a vlastne poháňa rozvoj samotnej matematickej analýzy. Nie je to však nič prekvapivé, keďže rozvoj matematickej analýzy bol často motivovaný aplikáciami. Napríklad fyzika (snaha pochopiť pohyb planét) do veľkej miery prispela k samotnému vzniku diferenciálneho počtu a analýzy. Neskôr diferenciálne rovnice, ktoré modelujú napríklad prúdenie tekutín alebo šírenie tepla, prerástli klasickú analýzu a vynútili si zavedenie rôznych zovšeobecnených konceptov derivácii.
Optimalizácia takisto potrebuje rozšírenie definície derivácie, ale iné ako diferenciálne rovnice. Skúsim to veľmi zjednodušene vysvetliť pre čitateľov, ktorí majú základy analýzy. V ideálnom prípade by derivácia mala priradiť funkcii v nejakom bode určitú jednoznačnú hodnotu (môže to byť buď číslo, alebo všeobecnejšie vektor). Ukazuje sa však, že potrebujeme pracovať aj s takými funkciami, pre ktoré sa v niektorých bodoch derivácia nedá jednoznačne priradiť. Ako sa vysporiadať s touto nejednoznačnosťou?
V diferenciálnych rovniciach si povieme, že ak takýchto problematických bodov s neurčitou deriváciou nie je veľa, jednoducho si ich nebudeme všímať a nenecháme sa rušiť. Naopak, v optimalizácii týmto bodom namiesto toho priradíme nie len jednu, ale hneď niekoľko „derivácií” – ak derivácia nie je jasná, vezmeme všetky, ktoré sa v istom zmysle hodia. To však následne vedie k takzvaným mnohoznačným zobrazeniam, ktorým sa matematická analýza vždy snažila vyhýbať, často dosť krkolomne. Mnohoznačné zobrazenia sú však úplne prirodzeným a veľmi fascinujúcim rozšírením štandardnej analýzy a často umožňujú lepšie porozumenie základných princípov analýzy, ako napríklad vety o inverznej a implicitnej funkcii.
Vďaka optimalizácii som sa teda dostal k úžasnej a veľmi fundamentálnej časti matematickej analýzy, ktorá je ešte stále veľmi málo prebádaná a ktorá má veľké využitie. Ľudia sa ma často pýtajú, či ešte je v matematike čo študovať, či už nie je všetko vyriešené, okrem nejakých najťažších otázok, ktorými nikto nevie pohnúť. Analýza mnohoznačných zobrazení je podľa mňa skvelá možnosť na študovanie.
Ďakujeme za rozhovor!
ZDIEĽAŤ ČLÁNOK
